[구면기하학] 이각형(진짜 "2"각형)을 만드는 법.

우리는 2각형을 만들 수 있을까?

 

정답은 "만들 수 있다." 이다.

 

 

 

우선 이각형의 모습부터 보면 이런 모습일 것이다.

 

 

 

 

이건 타원인데요? 라고 할 수 있는데

타원 맞습니다.

 

사실 이 타원은

 

 

 

 

이렇게 Top View 에서 보았을때 타원이었던 것. (투시 없이)

돌려보면 이러한 구체에 그어진 두 직선이라고 할 수 있다.

 

이게 어떻게 2각형이냐.. 원래 다각형은 직선과 꼭지점으로 이뤄진 도형을 얘기하는데.

 

라고 할 수 있지만,

 

그 말은 유클리드 기하학을 기반으로 얘기 했을때 이고, 우리가 오늘 알아볼 것은 구면기하학이다.

 

구면기하학에서는 두 개의 직선을 그었을때 반드시 두 직선은 만나게 되어있다.

따라서 평행선이라는 개념이 성립하지 않는다.

 

 

구면에서는 어떤 직선이든 끝까지 그리다보면 원을 이루는데, 그것을 대원이라고 한다. 

그 특징을 이용하여 두 대원은 아무렇게나 그려도 무조건 두 점에서 만나게 되어있으며, 그것이 곧 2각형인 것이다.

 

 

 

 

선을 이 예시처럼 그어놓고

이것이야말로 빨간 선과 파란 선이 서로 평행한거 아니냐? 라고 주장할 수 있지만

 

파란 선은 적도에 위치한 대원. 즉 직선이 맞다고 해도

빨간 선은 사실상 곡선인 것이다.

 

그 이유를 증명하면 다음과 같다.

 

 

좀더 확대해서 빨간 선에 두 점을 찍어보자

 

 

두 점을 잇는 가장 최단거리를 그어본다.

최단거리란, 점과 점 사이를 직선으로 이으면 그것이 최단거리일 것이다.

구면에서 최단거리를 긋기 위해서는

구체의 중심을 구해야 한다.

 

 

 

구체의 중심(노란 점)을 찾고, 그 중심점을 기준으로 콤파스를 이용해 두 점을 잇는다고 생각하면 된다.

 

 

 

 그럼 이렇게 노란선처럼 두 점 사이에 직선이 그어지는데,

 노란선을 확대해서 보면

 

 

 

빨간 색 선과 노란 색 측지선 사이의 괴리가 있다.

노란 선(원호)을 완전한 원으로 연장해보면

 

 

 

이렇게 노란 대원이 형성되며,

두 개의 대원은 두 점에서 만나게 된다.

 

이렇게 구면기하학에서는 직선을 그으면 무조건 대원이 되고, 그 대원은 항상 다른 대원과 마주치며 이각형이 그려진다.

오로지 선분으로만 이뤄졌으므로 다각형의 정의에 배반하지 않는다.

 

이렇게 구면기하학에서는 기존 유클리드기하학에서 볼수 없었던 신기한 현상을 볼 수 있는데,

구면기하학에서는 삼각형의 내각이 180도보다 커질 수 있다.(최소 180도~최대 540도)

 

구면기하학에서의 삼각형은 다음 시간에 다뤄보도록 하겠다..